在实分析中，由黎曼创立的黎曼积分（英语：Riemann integral）首次对函数在给定区间上的积分给出了一个精确定义。黎曼积分在技术上的某些不足之处可由后来的黎曼－斯蒂尔杰斯积分和勒贝格积分得到修补。 让函数 f {\displaystyle f} 为定义在区间 [ a , b ] {\displaystyle。
在数学中，线积分（英语：Line integral）是积分的一种。积分函数的取值沿的不是区间，而是被称为积分路径的特定曲线。 在曲线积分中，被积的函数可以是标量函数或向量函数。当被积函数是纯量函数时，积分的值是积分路径各点上的函数值乘上该点切向量的长度，在被积分函数是向量函数时，积分值是积分。
zai shu xue zhong ， xian ji fen （ ying yu ： L i n e i n t e g r a l ） shi ji fen de yi zhong 。 ji fen han shu de qu zhi yan de bu shi qu jian ， er shi bei cheng wei ji fen lu jing de te ding qu xian 。 zai qu xian ji fen zhong ， bei ji de han shu ke yi shi biao liang han shu huo xiang liang han shu 。 dang bei ji han shu shi chun liang han shu shi ， ji fen de zhi shi ji fen lu jing ge dian shang de han shu zhi cheng shang gai dian qie xiang liang de chang du ， zai bei ji fen han shu shi xiang liang han shu shi ， ji fen zhi shi ji fen 。
部分分式积分法，即通过将原函数拆分为部分分式来简化积分步骤，是计算积分时的一个常用技巧。任何有理函数都可拆分为多个多项式和部分分式的和，每个部分分式中的分子次数小于分母，然后根据积分表及利用其他积分技巧，将每个部分分式积分，就得到原函数的积分。 以下是一个简单的例子。计算 ∫ 10 x 2 + 12。
z} 是f在T上的三重积分。 注意，按常规，双重积分用两个积分号，而三重积分有三个；这只是记法上方便，也是为了通过重复积分来计算多重积分（参看本条目后文）。 多重积分问题的解决在多数情况下依赖于将多重积分转化为一系列单变量积分，而其中每个单变量积分都是直接可解的。 有时可以直接获得积分的结果，而无需任何直接计算。。
由于列表比较长，积分表被分为以下几个部分： 有理函数积分表 无理函数积分表 指数函数积分表 对数函数积分表 高斯函数积分表 三角函数积分表 反三角函数积分表 双曲函数积分表 反双曲函数积分表 ∫ ( a x + b ) n d x = ( a x + b ) n + 1 a ( n + 1 ) +。
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第十三章 反常积分 §1 积分限为无穷的反常积分 §2 无界函数的反常积分 §3 反常积分的性质与变形 §4 反常积分的特别计算法 §5 反常积分的近似计算 第十四章 依赖于参数的积分 §1 基本理论 §2 积分的一致收敛性 §3 积分一致收敛性的应用 §4 补充 §5 欧拉积分 第十五章 曲线积分、斯蒂尔切斯积分。
勒贝格积分（英语：Lebesgue integral）是现代数学中的一个积分概念，它将积分运算扩展到任何测度空间中。在最简单的情况下，对一个非负值的函数的积分可以看作是函数图像与 x {\displaystyle x} 轴之间的面积。勒贝格积分则将积分运算扩展到更广的函数（可测函数），并且也扩展了可以进行积分运算的集合（可测空间）。。
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数学上，曲面积分，也称为面积分（英语：Surface integral），是在曲面上的定积分（曲面可以是空间中的弯曲子集）；它可以视为和线积分相似的双重积分。给定一个曲面，可以在上面对标量场（也就是实数值的函数）进行积分，也可以对向量场（也就是向量值的函数）积分。 面积分在物理中有大量应用，特别是在电磁学的经典物理学中。。
微积分学的逐次积分（英：iterated integral）是在计算多重积分时将其中一些变量视为任意常数，重复进行多次积分而得到的积分。例如，对于二变量函数f ( x, y )的二重积分， 先将y视为常数，并且关于x积分∫ f ( x , y ) dx ，得到关于y的函数，进一步对y进行积分，这就得到了逐次积分。。
广义积分，又称为反常积分、异常积分（英语：Improper integral ），是对普通定积分的推广。 广义积分可以分成两类，第一类又称为无穷积分，指积分区间的上限或下限为无穷的积分。第二类称为瑕积分，指被积函数在积分区间中含有不连续点的积分。 第一类反常积分是无穷积分，指积分区间的上限或下限中含有无穷。
积分方程是含有对未知函数的积分运算的方程，与微分方程相对。许多数学物理问题需通过积分方程或微分方程求解。 积分方程最基本的形式为第一类弗里德霍姆方程： f ( x ) = ∫ a b K ( x , t ) ϕ ( t ) d t , {\displaystyle f(x)=\int _{a}^{b}K(x。
积分符号。在随后的MS-DOS代码页中放弃了这种方式，但是出于兼容性考虑仍在Unicode中保留了这两个字符（分别是U+2320和U+2321）。 积分符号∫与国际音标符号ʃ（念做esh）看起来十分相似，但是不应混淆。 相关的符号还包括∬（二重积分, U+222C）, ∭（三重积分, U+222D）。
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分部积分法又称作部分积分法（英语：Integration by parts），是一种积分的技巧。它是由微分的乘法定则和微积分基本定理推导而来的。其基本思路是将不易求得结果的积分形式，转化为等价的但易于求出结果的积分形式。 假设 h ( x ) {\displaystyle h(x)\ } 与 k。
≥０≤
在数值分析中，数值积分（英语：Numerical integration）是计算定积分数值的方法和理论。在数学分析中，给定函数的定积分的计算不总是可行的。许多定积分不能用已知的积分公式得到精确值。数值积分是利用黎曼积分等数学定义，用数值逼近的方法近似计算给定的定积分值。借助于电子计算设备，数值积分可以快速而有效地计算复杂的积分。。
的奇数幂时。但是，通过适当的简化公式，每个椭圆积分可以变为只涉及有理函数和三个经典形式的积分。（也即，第一，第二，和第三类的椭圆积分）。 除下面给出的形式之外，椭圆积分也可以表达为勒让德形式和Carlson对称形式。通过对施瓦茨-克里斯托费尔映射的研究可以加深对椭圆积分理论的理解。历史上，椭圆函数是作为椭圆积分的逆函数被发现的，特别是这一个：。
黎曼积分 达布积分 勒贝格积分 黎曼-斯蒂尔吉斯积分 数值积分 一种确定的实数值 本条目中主要介绍定积分，不定积分的介绍参见不定积分条目，无说明的情况下，下文中的“积分”一词均指“定积分”。 比如说，路径积分是多元函数的积分，积分区间不再是一条线段，而是一条平面上或空间中的曲线段；在面积积分中，曲线被三维空间中的一个曲面代替。。
降次积分法是求高次函数积分的一种技巧。先用换元积分法、三角换元法、分部积分法、部分分式法等方法求出降次公式，将原函数（如In）用低次的函数形式（如In-2）表示。然后将n代成想求的数，逐步降次，直至降至0或1为止，借助积分表得出结果。 如在求 ∫ cos 5 ( x ) d x {\displaystyle。
积分符号内取微分（英语：Leibniz integral rule，莱布尼茨积分法则）是一个在数学的微积分领域中很有用的运算。它是说，给定如下积分 F ( x , a ( x ) , b ( x ) ) = ∫ a ( x ) b ( x ) f ( x , t ) d t {\displaystyle。
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在实分析或数学分析中，达布积分是一种定义一个函数的积分的方法，它是通过达布和构造的。达布积分和黎曼积分是等价的，也就是说，一个实值函数是达布可积的当且仅当它是黎曼可积的，并且积分的值相等。达布积分的定义比黎曼积分简单，并且更具操作性。达布积分的名字来自于数学家让·加斯东·达布（Jean Gaston。
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重积分将积分的概念拓展至任意数量的变量。二重积分和三重积分可用于计算平面和空间中区域的面积和体积。富比尼定理给出了使用逐次积分的方法计算二重积分的条件。 可以用曲面积分和曲线积分在曲面和曲线等流形上进行积分。 在一元微积分中，微积分基本定理建立了导数与积分的联系。多元微积分中导数与积分之间的联系，体现为矢量微积分的积分定理：。
